平面応力問題 — 実践ガイドとベストプラクティス

3次元解析が当たり前の現在でも、平面応力解析には使い道がある。

• 概念設計段階のスクリーニング — パラメータを変えて多数ケースを高速に回す
• Kirsch問題のような検証 — FEMの精度を理論解と比較するベンチマーク
• 教育・トレーニング — FEMの基本概念を2次元で理解してから3次元に進む
• 対称性が高い問題 — 板金の孔あき部材など、面外効果が無視できるケース
• サブモデリングの2次元化 — 3次元モデルの一部を2次元で詳細解析

計算速度だ。2次元は3次元の1/100以下の計算コスト。設計パラメータを100通り変えたいとき、3次元で100ケース回すのは現実的でないが、2次元なら数分で済む。

最も典型的な適用だ。円孔のある無限板の応力集中はKirsch問題で $K_t = 3.0$（一軸引張）。これをFEMで再現するのは平面応力の基本演習だ。

実務的なポイント：

• 孔の周囲に十分なメッシュ密度 — 孔の円周に最低16要素（二次要素）
• 板の端部効果 — 有限板の $K_t$ は無限板と異なる。$d/W > 0.1$ の場合は補正が必要
• 複数孔の干渉 — 孔同士が近いと応力集中が増大する。FEMで直接評価

Petersonのチャートは多くの形状の $K_t$ を整理した名著だ。FEMはPetersonに載っていない形状（非標準的な切り欠き、複合形状等）の $K_t$ を個別に評価できる。Petersonの値とFEMの結果を比較するのは検証の基本だ。

3つのポイントがある：

1. 剛体移動の拘束 — 2次元なら最低3自由度の拘束で剛体移動を止める（並進2 + 回転1）

2. 対称条件の活用 — 形状と荷重が対称なら1/2, 1/4モデルにできる。計算コスト削減と同時にメッシュの精緻化が可能

3. Saint-Venantの原理 — 荷重を与える辺が荷重の細部に敏感。着目部位から十分離して荷重を与えれば、荷重の細部は影響しない

例えば引張試験片の中央部の応力を知りたいとき、端部の拘束条件が多少不正確でも、中央部の応力は正しく出る。ただし「十分離れる」距離は板幅の1〜2倍程度が目安だ。

1. 反力の確認 — 反力の合計が荷重と釣り合っているか

2. 応力の連続性 — 要素間の応力が滑らかに繋がっているか。大きな不連続は精度不足のサイン

3. メッシュ収束性 — 2〜3水準のメッシュで応力が5%以内に収束

4. 理論解との比較 — 一様引張、Kirsch問題などの既知解と照合

5. 変位のオーダー確認 — 手計算（$\delta = PL/AE$ 等）で変位の桁を確認

• [ ] 平面応力の仮定が成り立つか確認したか（薄板、面内荷重のみ）
• [ ] 平面ひずみと間違えていないか（要素タイプを確認）
• [ ] 板厚を正しく設定したか
• [ ] 二次要素を使用しているか（1次要素は精度不足の可能性）
• [ ] 応力集中部のメッシュは十分か
• [ ] 剛体移動が適切に拘束されているか（過拘束でないか）
• [ ] 反力が荷重と釣り合っているか
• [ ] メッシュ収束性を確認したか

その通り。AbaqusならCPS（平面応力）とCPE（平面ひずみ）の1文字の差、AnsysならKEYOPTの設定の差。たった1つの設定で物理が変わるから、最初に必ず確認すること。