10節点四面体要素(TET10) — 理論と支配方程式
TET10 — 3次元自動メッシュの主役
先生、TET4は「使うな」でしたが、TET10は積極的に使っていいんですか？
TET10は3次元構造解析の実務標準だ。ほぼ任意の形状に自動メッシュが生成でき、精度も高い。現代の3次元FEMの大部分はTET10で行われていると言ってよい。
TET10の構造
TET10はTET4と何が違いますか？
TET4の4つの頂点に加えて、各辺の中点に6つの中間節点を追加した10節点の四面体。各節点に3自由度で合計30自由度。
形状関数は二次多項式：
二次の形状関数だから、変位が要素内で二次的に変化する。ひずみは線形に変化。
そう。これがTET4（ひずみ一定）との決定的な違いだ。曲げによる応力勾配を1つの要素内で表現できる。
精度の理論的背景
なぜ二次要素は精度が高いんですか？
テイラー展開で考えるとわかりやすい。真の変位場を多項式で近似するとき：
- TET4（1次要素）は定数項と1次項まで → 2次以上の項が誤差
- TET10（2次要素）は定数項、1次項、2次項まで → 3次以上の項が誤差
収束の速さ（メッシュを細かくしたときの誤差減少率）：
| 量 | TET4 | TET10 |
|---|---|---|
| 変位の誤差 | $O(h^2)$ | $O(h^3)$ |
| 応力の誤差 | $O(h)$ | $O(h^2)$ |
| 収束の速さ | 遅い | 速い |
TET10は応力の誤差が $h^2$ で減少…メッシュを半分にすると誤差が1/4になる。TET4は半分で1/2にしかならない。
だからTET10は粗いメッシュでも十分な精度が出る。TET4と同じDOF数なら、TET10のほうが遥かに正確だ。
数値積分
TET10の数値積分はどうなりますか？
TET10は形状関数が二次だから、B行列は1次。$B^T D B$ は2次の多項式になり、これを正確に積分するには4点Gauss積分が必要だ。
| 積分スキーム | 積分点数 | 精度 | 用途 |
|---|---|---|---|
| 4点（完全積分） | 4 | 二次多項式を厳密に積分 | 標準 |
| 1点（低減積分） | 1 | 精度低下あり | 特殊用途 |
TET10で低減積分を使うことはありますか？
ほとんどない。TET4と違って、TET10の完全積分（4点）で体積ロッキングは通常起きない。低減積分にすると精度が落ちるだけで利点が少ない。
ただしAbaqusのC3D10M（Modified）は特殊な積分手法を使う。ホバーグラス制御付きの低減積分で、接触問題での安定性が向上している。通常のC3D10とC3D10Mの使い分けは後で詳しく説明する。
曲面の近似精度
TET10は曲面も正確に表現できますか？
中間節点が辺上にあるため、辺を曲線にできる。CADの曲面に中間節点をスナップさせることで、円筒や球面のような曲面をTET4よりはるかに正確に近似できる。
例えば円孔の周囲をTET4でモデル化すると、円が多角形で近似される。TET10なら各辺が曲線になり、円に沿う。応力集中の評価精度に直結する。
中間節点をCAD面にスナップさせないとどうなりますか？
中間節点が直線的に配置された「直辺TET10」になり、曲面の近似精度がTET4並みに落ちる。多くのプリプロセッサでは自動的にCAD面にスナップするが、設定を確認すること。
まとめ
TET10の理論を整理します。
要点：
- 10節点、二次形状関数、要素内ひずみ線形変化 — TET4から質的に向上
- 収束が速い — $O(h^2)$ で応力が収束。TET4の2倍の次数
- 自動メッシュが容易 — ほぼ任意の3D形状に対応
- 曲面の表現が正確 — 中間節点のCADスナップで曲面を二次近似
- 3次元FEMの実務標準 — 「迷ったらTET10」
TET10は「自動メッシュの容易さ」と「十分な精度」を両立した、実用上最もバランスの良い要素なんですね。
その通り。完璧ではないが（HEX20のほうが効率は良い）、メッシュ生成の手間を含めた総合コストではTET10が最も優れている。
NASAとNASTRAN — FEMの夜明け
今や世界中で使われている有限要素法ソルバー「NASTRAN」は、1960年代にNASAが開発しました。アポロ計画でロケットの構造解析が必要だったのです。当時のコンピュータはメモリ数KBの時代——今のスマートフォンの100万分の1以下の性能で、人類を月に送る構造計算をしていたのです。
各項の物理的意味
- 慣性項（質量項）：$\rho \ddot{u}$、つまり「質量×加速度」。急ブレーキで体が前に投げ出された経験はありませんか？ あの「持っていかれる感じ」がまさに慣性力です。重い物体ほど動き出しにくく、動き出したら止まりにくい。地震で建物が揺れるのも、地面が急に動いたのに建物の質量が「置いていかれる」から。静解析ではこの項をゼロにしますが、それは「ゆっくり力をかけるから加速度は無視できる」という仮定です。衝撃荷重や振動問題では絶対に省略できません。
- 剛性項（弾性復元力）：$Ku$ や $\nabla \cdot \sigma$。ばねを引っ張ると「戻ろうとする力」を感じますよね？ あれがフックの法則 $F=kx$ であり、剛性項の本質です。では質問——鉄の棒とゴム紐、同じ力で引っ張るとどちらが伸びるでしょうか？ 当然ゴムです。この「伸びにくさ」がヤング率 $E$ であり、剛性を決めます。よくある勘違い：「剛性が高い＝強い」ではありません。剛性は「変形しにくさ」、強度は「壊れにくさ」で、別の概念です。
- 外力項（荷重項）：体積力 $f_b$（重力など）と表面力 $f_s$（圧力、接触力など）。こう考えてみてください——橋の上のトラックの重さは「中身全体にかかる力」（体積力）、タイヤが路面を押す力は「表面だけにかかる力」（表面力）。風圧、水圧、ボルトの締付力…すべて外力です。ここでありがちな失敗：荷重の方向を間違える。「引張」のつもりが「圧縮」になっていた——笑い話に聞こえますが、3D空間で座標系が回転していると実際に起こります。
- 減衰項：レイリー減衰 $C\dot{u} = (\alpha M + \beta K)\dot{u}$。ギターの弦を弾いてみてください。音は鳴り続けますか？ いいえ、徐々に小さくなりますよね。振動エネルギーが空気抵抗や弦の内部摩擦で熱に変わるからです。車のショックアブソーバーも同じ原理——わざと振動エネルギーを吸収して乗り心地を良くしています。もし減衰がゼロだったら？ 建物は地震の後いつまでも揺れ続けることになります。実際にはそうならないので、適切な減衰の設定が重要です。
仮定条件と適用限界
次元解析と単位系
| 変数 | SI単位 | 注意点・換算メモ |
|---|---|---|
| 変位 $u$ | m（メートル） | mm入力時は荷重・弾性率もMPa/N系に統一すること |
| 応力 $\sigma$ | Pa（パスカル）= N/m² | MPa = 10⁶ Pa。降伏応力との比較時に単位系の不一致に注意 |
| 歪み $\varepsilon$ | 無次元（m/m） | 工学歪みと対数歪みの区別に注意（大変形時） |
| 弾性率 $E$ | Pa | 鋼: 約210 GPa、アルミ: 約70 GPa。温度依存性に注意 |
| 密度 $\rho$ | kg/m³ | mm系ではtonne/mm³（= 10⁻⁹ tonne/mm³ for 鋼） |
| 力 $F$ | N（ニュートン） | mm系ではN、m系ではNで統一 |
数値例：片持ち梁の先端荷重（L=1m, 断面50×100mm, 鋼材E=210GPa, P=1kN）
最大たわみ δ = PL³/(3EI) = 1000×1000³/(3×210000×4,166,667) ≈ 0.381 mm 最大応力 σ = PL×(h/2)/I ≈ 12.0 MPa（降伏応力235MPaに対して安全率19.6）
メッシュ密度を変えた収束性の確認：
ポイント：要素数を4倍にしても結果は0.5%しか変わらない→8,000要素で十分収束。これが「メッシュ収束性」の確認です。
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