1次元非定常熱伝導（半無限体） — 理論と支配方程式

表面温度を瞬時に $T_s$ に変化させた半無限体の温度応答で、熱解析ソルバーの過渡解析機能を検証する定番問題だ。誤差補関数 erfc を含む厳密解がある。NAFEMS T1やT2ベンチマークの基盤となる理論だ。

まさにそうだ。熱伝導のCode Verificationの第一歩。空間離散化と時間離散化の両方の精度を検証できる点が構造問題にない特徴だ。

フーリエの熱伝導方程式（1次元）は

ここで $\alpha = k/(\rho c_p)$ は温度拡散率。初期条件 $T(x,0) = T_i$、境界条件 $T(0,t) = T_s$ での厳密解は

erfc は相補誤差関数。温度が表面値の1%に減衰する浸透深さは $\delta \approx 3.6\sqrt{\alpha t}$ だ。

ある。表面の熱流束は

$t \to 0$ で無限大に発散する。これは瞬間的な温度変化という非物理的な境界条件に起因する特異性で、FEAでは初期の数タイムステップでの精度が落ちる。Ramp入力（線形に温度を上げる）にすれば特異性を回避できる。

$T_i = 0$°C、$T_s = 100$°C、$k = 50$ W/(m·K)、$\rho = 7800$ kg/m³、$c_p = 500$ J/(kg·K)。$\alpha = 1.282 \times 10^{-5}$ m²/s。

$t = 10$ s での $x = 0.01$ m の温度:

$\eta = 0.01/(2\sqrt{1.282 \times 10^{-5} \times 10}) = 0.441$

$T = 100 \times \text{erfc}(0.441) = 100 \times 0.534 = 53.4$°C

NAFEMS T1ベンチマークは鋼の片面加熱で同等のパラメータを使用している。