1次元非定常熱伝導（半無限体） — トラブルシューティング

これはCrank-Nicolsonの既知の問題で、ステップ入力に対するGibbs現象的なオーバーシュートだ。物理的に温度が入力値を超えることはないから、非物理的な結果になる。

対策:

1. 最初の5〜10ステップを後退Euler（$\theta = 1$）で計算し、その後Crank-Nicolsonに切り替える

2. 時間刻みを十分小さくする（$\Delta t < h^2/(6\alpha)$ 程度）

3. ランプ入力に変更（温度を数ステップかけて上げる）

4. Galerkin法（$\theta = 2/3$）を使う。振動が抑制される

Abaqusは過渡熱解析で自動的に最初のいくつかのインクリメントを後退Eulerで処理する。ユーザーが意識しなくてもオーバーシュートが抑制される。ただしマニュアルの記述が不明確なので、実際の挙動をテスト問題で確認しておくべきだ。

断熱端からの反射で温度が過大評価される。温度浸透前線がモデル端に到達すると、半無限体の仮定が崩れる。

対策:

• モデル長さを $L > 5\sqrt{\alpha t_{final}}$ にする
• モデル端に固定温度（初期温度）の境界条件を適用する。これは半無限体の遠方条件を近似する
• 結果を確認して端部の温度が初期温度から変化していないことを確認

モデルを延長して再計算する。温度変化が$10^{-3}$°C以下になるまでモデル長さを増やす。実務的にはerfcの漸近挙動から必要長さを事前に推定できる。erfc(3) ≈ 0.00002 だから、$x = 3 \times 2\sqrt{\alpha t}$ で温度変化は初期変化の0.002%になる。

AbaqusとCOMSOLは時間刻みの自動適応制御を備えている。Abaqusでは*HEAT TRANSFER, DELTMX=5 で「1ステップ内の最大温度変化を5°C以内」に制限し、それに合わせて$\Delta t$が自動調整される。

初期（温度勾配が急峻）では小さな$\Delta t$、後期（変化が緩やか）では大きな$\Delta t$になるから効率的だ。ただしV&Vでは自動制御の挙動を理解するため、固定$\Delta t$での結果と比較確認すべきだ。

adjustTimeStep yes; maxCo 0.5; と設定すればクーラン数ベースの自動調整が効く。ただしlaplacianFoamでは対流項がないからCo数の概念が直接適用されない。maxDeltaT で上限を設定し、拡散数 $Fo = \alpha\Delta t/h^2 < 0.5$ を手動で確認するのが安全だ。