1次元非定常熱伝導（半無限体） — 数値解法と実装

• 前進Euler（陽的）: 1次精度。$\Delta t < h^2/(2\alpha)$ のCFL条件がある。条件を満たせば安定だが、$\Delta t$ が非常に小さくなる
• 後退Euler（陰的）: 1次精度。無条件安定だが時間方向の数値拡散が大きい
• Crank-Nicolson: 2次精度。無条件安定。ただしステップ変化に対してオーバーシュート（Gibbs現象的な振動）が出る
• Galerkin法（$\theta = 2/3$）: 振動を抑制しつつ比較的高精度

AbaqusのHEAT TRANSFERステップは後退Eulerがデフォルト。TRANSIENT HEAT TRANSFERでAlpha（AMPLITUDE parameter）を設定可能。$\alpha = 0$ が後退Euler、$\alpha = 0.5$ がCrank-Nicolson。

NastranのSOL 159（非線形過渡熱）はNewmark型の$\theta$法で、$\theta = 0.5$（Crank-Nicolson相当）がデフォルト。

半無限体問題では温度浸透深さ $\delta(t) = 3.6\sqrt{\alpha t}$ が時間とともに増大するから、表面近傍にメッシュを集中させる。

推奨設定:

• 表面の要素サイズ: $h_{min} = \delta(t_{final})/20$
• 幾何級数バイアス: 比率1.5〜2.0で奥に向かって粗くする
• モデル長さ: $L > 5\delta(t_{final})$ で半無限体を近似
• 時間刻み: $\Delta t = h_{min}^2/(4\alpha)$ を初期の目安にし、GCIで確認

もちろん。空間メッシュを固定して$\Delta t$を系統的に変えれば、時間方向のRichardson外挿が可能だ。同様に、$\Delta t$を固定して空間メッシュを変えれば空間方向のGCIが得られる。両方を独立に評価するのがASME V&V 20の推奨手順だ。

Abaqus: DC1D2（1D熱伝導要素）またはDC2D8（2D）で解く。INITIAL CONDITIONS, TYPE=TEMPERATURE で初期温度、BOUNDARY で表面温度を固定。

Nastran: SOL 159 + CHBDY要素で境界条件定義。TLOAD1/TLOAD2で時間依存の温度境界条件を指定。

OpenFOAM: laplacianFoam（純熱伝導）を使用。boundary conditionsでfixedValue + uniformの温度指定。

COMSOL: Heat Transfer in Solids モジュール。Time Dependent Studyで過渡解析。

OpenFOAMは主にCFD用だが、laplacianFoamは純粋な拡散方程式ソルバーだから熱伝導にそのまま使える。ただし固体の熱伝導だけを解くならCalculiXやCode_Asterの方が自然だ。流体と固体の連成（共役熱伝達: CHT）ではOpenFOAMのchtMultiRegionFoamが活躍する。