8節点四辺形要素(QUAD8) — 理論と支配方程式

そう。Q4の4つの頂点に加えて各辺の中点に4つの中間節点を追加した8節点の二次要素。HEX20の2次元版だ。

Q8の形状関数はSerendipity型の二次多項式：

頂点ノード：

辺中点ノード（例: $\xi_i = 0$）：

その通り。Q4でシアロッキングの原因だった「$\xi^2, \eta^2$ 項の欠如」がQ8では解消される。Q8にはシアロッキングが起きない。

収束速度：

• 変位: $O(h^3)$（Q4は $O(h^2)$）
• 応力: $O(h^2)$（Q4は $O(h)$）

DOFで見ると、Q8は1要素16 DOF（Q4は8 DOF）。要素数が1/4でDOFが倍なので、トータルDOFは1/4 × 2 = Q4の半分のDOFで同等精度。効率的だ。

中間節点をCAD曲面にスナップさせることで、辺を二次曲線にできる。円孔や曲面境界の近似精度がQ4（直辺）より格段に高い。

圧倒的に有利だ。円孔の応力集中（$K_t = 3.0$）をQ4とQ8で比較すると、同じ要素数でQ8のほうが5〜10%正確。メッシュが粗い段階ではさらに差が開く。

低減積分のQ8（CPS8R等）は体積ロッキングに対して強い。$\nu \to 0.5$ の問題で完全積分よりロバスト。また計算コストが完全積分の4/9で済む。

実務推奨：

• 線形弾性（$\nu < 0.45$） → CPS8（完全積分）でもCPS8R（低減積分）でもOK
• 非圧縮材（$\nu > 0.45$） → CPS8R（低減積分）を推奨

要点：

• 8節点のSerendipity型二次要素 — Q4の上位版
• シアロッキングなし — $\xi^2, \eta^2$ 項があるため
• 曲辺で曲面を正確に近似 — 応力集中の評価に有利
• Q4の半分のDOFで同等精度 — 効率的
• 2次元FEMの精密解析の標準 — 迷ったらQ8

Q4は「基本を学ぶ要素」、Q8は「実務で使う要素」。両方を理解した上でQ8を使うのがベストだ。