流れ関数 — 理論と支配方程式

流れ関数 $\psi$ は2次元非圧縮流れにおいて、連続の式を自動的に満たす速度場を与えるスカラー関数だ。定義はこうなる。

この定義から連続の式 $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$ が恒等的に成り立つことが確認できるよ。

解析的にはそうだ。数値計算では離散化誤差が入るけれど、流れ関数で定式化すれば質量保存は構造的に保証される。これがprimitive変数（$u, v, p$）法に対する流れ関数法の大きなメリットなんだ。

流れ関数の等値線が流線に一致する。つまり $\psi = \text{const.}$ の曲線に沿って流体粒子が移動する。さらに2つの流線 $\psi_1$ と $\psi_2$ の間を通過する単位奥行きあたりの体積流量は

で与えられる。これが流れ関数の物理的な意味だよ。

壁面は流線の一つだから $\psi = \text{const.}$ を壁面の境界条件として使える。例えば静止壁面なら $\psi = 0$ と置くことが多い。

渦度 $\omega$ の定義 $\omega = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}$ に流れ関数の定義を代入すると、Poisson方程式が得られる。

つまり渦度分布が分かれば、この楕円型方程式を境界条件のもとで解くことで流れ関数（そして速度場）が決まるんだ。

ラプラス方程式 $\nabla^2 \psi = 0$ になる。これはポテンシャル流れの流れ関数で、速度ポテンシャル $\phi$ のラプラス方程式と双対関係にある。$\psi$ と $\phi$ の等値線は直交するんだ。

一般の3次元流れでは流れ関数は定義できない。ただし軸対称流れではStokesの流れ関数が定義できる。円筒座標 $(r, z)$ で

注意点は2次元の $\psi$ と違って $\Psi$ の次元が $[m^3/s]$ になること。2つの流面の間の体積流量は $Q = 2\pi(\Psi_2 - \Psi_1)$ だ。

まさにその通りで、軸対称ジェットやパイプ流れの解析で重宝する。Hagen-Poiseuille流れの流れ関数は $\Psi = \frac{U_0}{2R^2}(R^2 r^2 - r^4/2)$ と解析的に求まるから、検証問題に使えるよ。

主な制約は以下だ。

• 一般の3次元流れ: スカラー流れ関数は定義不可。ベクトルポテンシャルで拡張可能だが実用性は低い
• 圧縮性流れ: 非圧縮を前提としているため適用不可。圧縮性では $\rho u = \partial \psi / \partial y$ と修正定義すれば使えるが複雑になる
• 多相流: 界面を跨ぐ流れ関数の連続性条件が複雑
• 3次元乱流: 実用的なCFDではprimitive変数法（SIMPLE系など）が主流

その認識で正しい。ただし計算の堅牢性（質量保存の構造的保証）は魅力的なので、2次元ベンチマーク問題の検証には今でもよく使われるよ。