モード法周波数応答解析 — 数値解法と実装
モード法の計算効率
モード法が直接法より速い理由を教えてください。
直接法は各振動数点で $n \times n$（$n$ = DOF数）の連立方程式を解く。モード法は固有値解析1回 + 各振動数点で $N \times N$（$N$ = モード数 << $n$）の対角系を解く。
| 計算量 | 直接法 | モード法 |
|---|---|---|
| 各周波数点 | $O(n \cdot bw)$ or $O(n^2)$ | $O(N)$ |
| 周波数点数 $M$ | $M \times O(n \cdot bw)$ | 固有値 + $M \times O(N)$ |
$N = 100$ モードで $n = 1{,}000{,}000$ DOFなら、モード法は10,000倍速い！
だからNVH解析のような多数の周波数点（500〜1000点）を計算する場合、モード法が圧倒的に有利。
残余モードの重要性
含まれていない高次モードの影響は？
残余モード（Residual Vectors）で補正する。高次モードの寄与を静的な力-変位関係で近似。Nastranの RESVEC=YES で自動追加。
残余モードなしだと低周波で結果がずれますか？
低周波ではなく高周波（着目範囲の上限付近）でずれる。残余モードは「モード展開の切り落とし誤差」を補正するもの。実務では常にRESVECを有効にすべきだ。
FRFの出力
FRF（周波数応答関数）の主な種類：
| FRFタイプ | 定義 | 用途 |
|---|---|---|
| コンプライアンス | $u/F$ | 変位応答 |
| モビリティ | $v/F = i\omega \cdot u/F$ | 速度応答 |
| イナータンス | $a/F = -\omega^2 \cdot u/F$ | 加速度応答 |
実験ではどれを使いますか？
実験モード解析ではイナータンス（加速度/力）が一般的。加速度センサーが最も広く使われるから。FEMの結果を実験と比較するときは同じ形式で出力すること。
まとめ
モード法周波数応答の数値手法、整理します。
要点：
- モード法は直接法より圧倒的に速い — 多数の周波数点で有利
- 残余モード（RESVEC）で高次の補正 — 常に有効にすべき
- FRF形式 — コンプライアンス、モビリティ、イナータンス
- 実験との比較 — 同じFRF形式で出力すること
NASAとNASTRAN — FEMの夜明け
今や世界中で使われている有限要素法ソルバー「NASTRAN」は、1960年代にNASAが開発しました。アポロ計画でロケットの構造解析が必要だったのです。当時のコンピュータはメモリ数KBの時代——今のスマートフォンの100万分の1以下の性能で、人類を月に送る構造計算をしていたのです。
離散化手法の詳細解説
空間離散化における手法選択が数値精度・安定性・計算コストに与える影響を詳述する。
線形要素（1次要素）
節点間を線形補間。計算コストは低いが、応力の精度が低い。せん断ロッキングに注意（低減積分やB-bar法で緩和）。
2次要素（中間節点付き）
曲線的な変形を表現可能。応力精度が大幅に向上するが、自由度は約2〜3倍に増加。推奨：応力評価が重要な場合。
完全積分 vs 低減積分
完全積分：過剰拘束（ロッキング）のリスク。低減積分：アワーグラスモード（零エネルギーモード）のリスク。適材適所で選択。
アダプティブメッシュ
誤差指標（ZZ推定量等）に基づく自動細分化。応力集中部の精度を効率的に向上。h法（要素分割）とp法（次数増加）がある。
マトリクスソルバーの選定指針
問題規模と特性に応じた最適なソルバー選択のガイドライン。
| ソルバー種別 | 詳細・推奨条件 |
|---|---|
| 直接法（LU/Cholesky分解） | メモリ: O(n·b²)（bはバンド幅）。10万DOF以下で効率的。常に解が得られる安定性が利点。 |
| 反復法（PCG法） | メモリ: O(n)。大規模問題（100万DOF以上）で有利。前処理の選択が収束速度を左右する。推奨前処理: 不完全Cholesky、AMG。 |
| DOF別推奨 | 〜10⁴ DOF: 直接法、10⁴〜10⁶ DOF: 前処理付き反復法、10⁶ DOF〜: AMG前処理＋並列反復法 |
時間積分法と収束判定
ソルバー内部の制御パラメータと収束判定基準について記述する。
ニュートン・ラフソン法
非線形解析の標準的手法。接線剛性マトリクスを毎反復更新。収束半径内で2次収束するが、計算コストが高い。
修正ニュートン・ラフソン法
接線剛性マトリクスを初期値または数反復毎に更新。各反復のコストは低いが、収束速度は線形的。
収束判定基準
力の残差ノルム: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（一般に $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。変位増分ノルム: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。エネルギーノルム: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
荷重増分法
全荷重を一度に負荷せず、小刻みに増加させる。弧長法（Riks法）は荷重-変位関係の極値点を越えて追跡可能。
数値解法の直感的理解
FEMのイメージ
有限要素法は「ジグソーパズルの逆」に似ている。完成した絵（連続体）をピース（要素）に分割し、各ピースの挙動を個別に計算してから全体を組み立て直す。ピースが小さいほど（メッシュが細かいほど）元の絵に近い結果が得られるが、ピース数が増えるため計算時間も増大する。
直接法 vs 反復法のたとえ
直接法は「連立方程式を筆算で正確に解く」方法——確実だが大規模問題では時間がかかりすぎる。反復法は「当て推量を繰り返して正解に近づく」方法——最初は大雑把な答えだが、反復するたびに精度が上がる。辞書で言葉を探すとき、最初のページから順番に探す（直接法）より、見当をつけて開き、前後に調整する（反復法）方が効率的なのと同じ原理。
メッシュの次数と精度の関係
1次要素は「定規で曲線を近似する」——直線の折れ線で表現するため精度に限界がある。2次要素は「フレキシブルカーブ」——曲線的な変化を表現でき、同じメッシュ密度でも格段に精度が向上する。ただし、1要素あたりの計算コストは増えるため、トータルのコスト対効果で判断する。
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