3次元弾性体解析 — 理論と支配方程式

そう。平面応力、平面ひずみ、軸対称、シェル、梁…全ての構造要素は3次元弾性論の特殊ケースだ。3次元弾性論は全ての基礎であり、近似のない「フルモデル」だ。

3つの基本方程式がある。

完璧な理解だ。この15方程式を変位を唯一の未知数としてまとめたのがNavier方程式（ラメ-ナビエ方程式）：

ここで $\lambda, \mu$ はラメ定数。$\mu = G$（せん断弾性率）、$\lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}$。

等方性弾性体の3次元構成則（Voigt表記）：

そう。3次元の $[D]$ から、平面応力は $\sigma_z = 0$ の条件で、平面ひずみは $\varepsilon_z = 0$ の条件で縮約する。シェルも梁も、それぞれの仮定に基づいて3次元の $[D]$ から導出される。

一般の異方性弾性体では $[D]$ は21個の独立な定数を持つ（6×6対称行列）。しかし実用上は以下の特殊ケースが多い：

一方向材（UD材）の1層は横等方性だ。繊維方向とそれに直交する面で対称。複数層を積層すると全体としては直交異方性やより複雑な対称性になる。

• 3次元的な応力集中 — 穴と穴の干渉、フィレットの角
• 板厚方向の応力が重要 — 厚板の曲げ、層間せん断
• 接触問題 — ボルト頭とフランジ、ギアの歯面
• 複雑な形状 — 鋳造品、3Dプリント部品
• 非対称荷重 — 軸対称構造への局所荷重

計算機の性能向上で、3次元解析が当たり前になった。ただし3次元で解けば正しいとは限らない。メッシュの品質、境界条件、材料モデルが正しくなければ、3次元でもゴミが出る。

要点：

• 3つの基本方程式 — 平衡、適合、構成則。合計15未知数15方程式
• $[D]$ マトリクスが全ての基礎 — 2次元要素はこの縮約版
• 等方性では2定数、異方性では最大21定数
• 3次元解析が不可欠な場面 — 3D応力集中、板厚方向応力、接触、複雑形状
• 3次元 = 正確とは限らない — 入力の品質が結果を支配

まさにその通り。3次元弾性論は「幹」であり、各要素タイプは「枝」だ。幹を理解していれば、枝の選び方は自ずとわかる。