内部発熱を伴う定常伝導 — 理論と支配方程式
内部発熱の物理
先生、内部発熱ってどんな場面で出てくるんですか？
電気抵抗によるジュール発熱、核燃料の崩壊熱、化学反応熱など多岐にわたる。いずれも体積あたりの発熱率 $\dot{q}_v$ [W/m$^3$] で表現する。
平板の支配方程式
一様内部発熱 $\dot{q}_v$ を持つ平板（厚さ $2L$、両面同一温度 $T_s$）の支配方程式は
解は放物線分布になる。
中心温度 $T_{\max} = T_s + \dot{q}_v L^2 / (2k)$。
放物線になるのは直感的に分かりますね。中心が一番熱い。
重要なのは $T_{\max} \propto L^2$ という点だ。板厚を2倍にすると中心温度上昇が4倍になる。薄くすることが冷却の最も効果的な手段だ。
円筒の場合
半径 $R$ の円筒（外面温度 $T_s$）では
中心温度 $T_{\max} = T_s + \dot{q}_v R^2 / (4k)$。平板の $2k$ に対して $4k$ で、円筒の方が効率よく冷える。
球の場合
球（半径 $R$）では
分母が $6k$ とさらに大きい。表面積/体積比が大きいほど冷却効率が高い。
| 形状 | $T_{\max} - T_s$ | 表面積/体積 |
|---|---|---|
| 平板 | $\dot{q}_v L^2/(2k)$ | $1/L$ |
| 円筒 | $\dot{q}_v R^2/(4k)$ | $2/R$ |
| 球 | $\dot{q}_v R^2/(6k)$ | $3/R$ |
球が最も冷却効率が良いんですね。
同じ体積なら球の表面積が最大だからだ。ただし対流条件を含めると話はもう少し複雑になる。
チャレンジャー号事故とOリングの温度
1986年のスペースシャトル・チャレンジャー号の爆発事故は、低温でOリングのゴムが硬化し、シール機能を失ったことが原因。打ち上げ当日の気温は0°C付近——設計想定を大きく下回っていました。現代の熱-構造連成解析なら「0°Cでゴムの弾性率がどう変わるか」「シール面の接触圧が維持されるか」を事前に検証できます。温度依存材料特性の重要性を、最も痛ましい形で教えてくれた事故です。
各項の物理的意味
- 蓄熱項 $\rho c_p \partial T/\partial t$：単位体積あたりの熱エネルギー蓄積率。【日常の例】鉄のフライパンは熱しにくく冷めにくいが、アルミ鍋は熱しやすく冷めやすい——これは密度 $\rho$ と比熱 $c_p$ の積（熱容量）の違い。熱容量が大きい物体は温度変化が緩やかになる。水は比熱が非常に大きい（4,186 J/(kg·K)）ため、海沿いの気温は内陸より安定する。非定常解析ではこの項が温度の時間変化速度を決める。
- 熱伝導項 $\nabla \cdot (k \nabla T)$：フーリエの法則に基づく熱伝導。温度勾配に比例した熱流束。【日常の例】金属スプーンを熱い鍋に入れると持ち手まで熱くなる——金属は熱伝導率 $k$ が高いため、高温側から低温側へ素早く熱が伝わる。木製スプーンが熱くならないのは $k$ が小さいから。断熱材（グラスウール等）は $k$ が極めて小さく、温度勾配があっても熱が伝わりにくい。「温度差のあるところに熱が流れる」という自然の傾向を数式化したもの。
- 対流項 $\rho c_p \mathbf{u} \cdot \nabla T$：流体の運動に伴う熱輸送。【日常の例】扇風機に当たると涼しく感じるのは、風（流体の流れ）が体表面近くの暖かい空気を運び去り、新鮮な冷たい空気を供給するから——これが強制対流。暖房で部屋の天井付近が暖かくなるのは、暖められた空気が浮力で上昇する自然対流。PCのCPUクーラーのファンも強制対流で放熱している。対流は熱伝導よりも桁違いに効率的な熱輸送手段。
- 熱源項 $Q$：内部発熱（ジュール熱、化学反応熱、放射線吸収等）。単位: W/m³。【日常の例】電子レンジは食品内部のマイクロ波吸収（体積発熱）で加熱する。電気毛布のヒーター線はジュール発熱（$Q = I^2 R / V$）で暖かくなる。リチウムイオン電池の充放電時の発熱、ブレーキパッドの摩擦熱も熱源として解析で考慮される。外部から「表面」に熱を与える境界条件とは異なり、熱源項は「内部」でのエネルギー生成を表す。
仮定条件と適用限界
数値例：平板の定常熱伝導（厚み10mm, 鋼k=50W/(m·K), 表面100°C/裏面20°C）
熱流束 q = k×ΔT/L = 50×80/0.01 = 400,000 W/m² 各位置の温度は線形分布
材料別の熱伝導率の比較（数値が大きいほど熱を伝えやすい）：
銅は空気の約15,000倍も熱を伝えやすい！ ヒートシンクに銅やアルミが使われる理由がこのグラフで一目瞭然です。
熱解析の境界条件設定は経験と試行錯誤の繰り返し。 — Project NovaSolverは、実務者の知見を活かしやすい解析環境の実現を研究しています。
CAEの未来を、実務者と共に考える
Project NovaSolverは、内部発熱定常伝導における実務課題の本質に向き合い、エンジニアリングの現場を支える道具づくりを目指す研究開発プロジェクトです。
プロジェクトの最新情報を見る →