平面ひずみ問題 — 数値解法と実装

要素の形状やメッシュは同じだ。違うのは構成則マトリクス $[D]$の中身。平面応力用の $[D]$ と平面ひずみ用の $[D]$ を入れ替えるだけ。

まさにそれが最大の落とし穴だ。メッシュ、荷重、境界条件が全く同じでも、要素タイプの1つの設定で結果が変わる。

Hybrid要素だ。圧力（静水圧応力）を独立変数として扱うことで、$\nu \to 0.5$ でも体積ロッキングを回避する。非圧縮に近い材料（ゴム、飽和土）の平面ひずみ解析ではCPE4HやCPE8RHが必須だ。

$\nu \to 0.5$ の非圧縮材料では、体積変化 $\varepsilon_v = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z = 0$ という拘束が入る。平面ひずみでは $\varepsilon_z = 0$ だから：

この拘束条件が各積分点で課されると、自由度が過剰に拘束される。完全積分の4節点四角形要素では積分点が4つあり、各点で拘束が1つ入るため、4つの拘束条件に対して8自由度（4節点×2DOF）では自由度が足りなくなる。

対策：

完全積分の二次要素（CPE8）はロッキングが起きやすい。低減積分（CPE8R）かハイブリッド（CPE8RH）を使うこと。実務の鉄則は「平面ひずみで $\nu > 0.45$ なら必ずハイブリッド要素か低減積分を使う」だ。

いくつかある：

• 初期地圧の設定 — 地盤は自重で初期応力が存在する。$K_0$ 法（$\sigma_h = K_0 \sigma_v$）で初期応力を与える
• 地下水位 — 間隙水圧が有効応力に影響。連成解析（Biot理論）か非連成で扱うか
• 掘削のモデル化 — 要素の除去（element removal / kill）で掘削を表現
• 支保工のモデル化 — 梁要素やシェル要素で吹付けコンクリートやロックボルトを表現

掘削した要素が負担していた応力を「解放力」として残りの地盤に加える。Abaqusでは *MODEL CHANGE で要素を非活性化し、自動的に応力解放が行われる。Plaxisなどの地盤専用ソフトではGUIで直感的に設定できる。

要点：

• 要素タイプの設定が全て — 平面応力と1つの設定値が違うだけ
• $\nu > 0.45$ ではハイブリッド要素が必須 — 体積ロッキング対策
• 低減積分は汎用的な対策 — ただしアワーグラスモードに注意
• 地盤解析では初期地圧・水圧・掘削ステップが重要 — 専用ソフトのほうが効率的
• 結果の $\sigma_{zz}$ を確認 — $\nu(\sigma_x + \sigma_y)$ と一致するか検証