4節点四辺形要素(QUAD4) — 理論と支配方程式

そう。Q4はFEMの歴史で最も多く研究され、改良されてきた要素だ。HEX8の2次元版と考えてよい。平面応力、平面ひずみ、軸対称の全てに使える。

Q4の形状関数は自然座標 $(\xi, \eta)$ で双線形（bilinear）：

4つの節点は $(\xi, \eta) = (\pm 1, \pm 1)$ に対応。

この交差項のおかげで、Q4は3節点三角形（CST）より曲げの表現能力が高い。ただし完全な曲げ変形を表現するには $\xi^2, \eta^2$ 項が必要で、Q4にはこれがない。

完全積分（2×2 Gauss点）のQ4で純粋曲げを表現しようとすると、寄生的なせん断ひずみが発生して要素が「固まる」。これがシアロッキング。

物理的にはこうなる：

• 純粋曲げでは上面が伸び、下面が縮む
• Q4の双線形形状関数ではこの変形を表現するとき、不可避的にせん断ひずみが出る
• このせん断ひずみのエネルギーが余分に蓄えられ、要素が硬くなりすぎる

3つの方法：

1. 低減積分（1×1 Gauss点） — せん断を積分点1つで評価。ロッキングは消えるがアワーグラスモードが発生

2. 非適合モード（Incompatible modes） — $\xi^2, \eta^2$ に対応する内部自由度を追加。NastranのCQUAD4、AbaqusのCPS4I

3. Assumed Natural Strain (ANS) — せん断ひずみを別途仮定

そう。NastranのCQUAD4はFEMの歴史で最も成功した要素の一つと言われている。MacNealとHarderが1985年に発表した改良版で、非適合モードにより曲げ精度を大幅に改善しつつ、パッチテストも満たす。

要点：

• 双線形形状関数 — 交差項 $\xi\eta$ あり。CSTより精度高い
• シアロッキング — 完全積分で発生。低減積分 or 非適合モードで対策
• NastranのCQUAD4は非適合モード内蔵 — FEM史上最も成功した要素の一つ
• 2次元の実務標準 — 平面応力、平面ひずみ、軸対称で広く使用
• 歪んだ形状に弱い — アスペクト比、スキューネスの管理が重要

Q4はHEX8の2次元版だから、全く同じ問題が起きる。2次元で理解しておけば、3次元に拡張するのは容易だ。