3次元定常熱伝導 — 数値解法

離散化手法の詳細解説

空間離散化における手法選択が数値精度・安定性・計算コストに与える影響を詳述する。

線形要素 vs 2次要素

熱伝導解析では線形要素でも十分な精度が得られることが多い。温度勾配が急な領域（熱衝撃等）では2次要素を推奨。

熱流束の評価

要素内の温度勾配から算出。節点応力と同様にスムージングが必要な場合がある。

対流-拡散問題

ペクレ数が高い（対流支配）場合、風上的安定化（SUPG等）が必要。純粋な熱伝導問題では不要。

マトリクスソルバーの選定指針

問題規模と特性に応じた最適なソルバー選択のガイドライン。

時間積分法と収束判定

ソルバー内部の制御パラメータと収束判定基準について記述する。

非定常解析の時間刻み

熱拡散の特性時間 $\tau = L^2 / \alpha$（$\alpha$: 熱拡散率）に対して十分小さい刻みを設定。急激な温度変化には自動時間刻み制御が有効。

非線形収束

温度依存物性値による非線形性はマイルドな場合が多く、Picard反復（直接置換法）で十分なことが多い。放射の強非線形性ではニュートン法を推奨。

定常解析の判定

全節点の温度変化が閾値以下（$|\Delta T| / T_{max} < 10^{-5}$等）で収束と判定。