フーリエの法則 — 理論と支配方程式

フーリエの法則は「温度勾配があるところに熱が流れる」という自然現象を数式にしたものだ。1822年にJoseph Fourierが著書『熱の解析的理論』で定式化した。全ての熱伝導解析はここから始まる。

そう、ニュートン力学がF=maで始まるように、伝熱工学はフーリエの法則で始まる。ベクトル形式で書くとこうなる。

フーリエの法則の基本形は熱流束ベクトル $\mathbf{q}$ と温度勾配の関係式だ。

ここで $k$ は熱伝導率 [W/(m K)]、$\nabla T$ は温度勾配 [K/m] だ。マイナス符号は「熱は高温側から低温側に流れる」という熱力学第二法則を反映している。

そうだ。1次元の場合は偏微分が常微分になる。

これをエネルギー保存則と組み合わせると、定常熱伝導方程式が得られる。

$\dot{q}_v$ は単位体積あたりの内部発熱量 [W/m3] だ。kが一定なら $k \frac{d^2T}{dx^2} + \dot{q}_v = 0$ とさらに簡単になる。

その通り。平板で両面の温度が $T_1$、$T_2$ なら $T(x) = T_1 + (T_2 - T_1)\frac{x}{L}$ という線形分布になる。これは解析解の検証でよく使う基本ケースだ。

一般的な3次元問題では、異方性材料を考慮してテンソル形式で書く。

等方性材料なら $k_{ij} = k \delta_{ij}$ で、ラプラス方程式 $\nabla^2 T = 0$（発熱なし）またはポアソン方程式 $\nabla^2 T + \frac{\dot{q}_v}{k} = 0$（発熱あり）に帰着する。

そうだ。CFRPの場合、繊維方向の熱伝導率が5〜10 W/(m K) に対して直交方向は0.5〜1 W/(m K) 程度。テンソル形式でないと正しく扱えない。

境界条件は3種類ある。

そうだ。実務では第3種境界条件が最も頻繁に使われる。対流熱伝達係数 $h$ の見積もりが結果の精度を大きく左右するんだ。