フーリエの法則 — 数値解法と離散化

定常熱伝導問題の弱形式（ガラーキン法）から出発する。温度場 $T$ を形状関数 $N_i$ で近似する。

弱形式にして部分積分を適用すると、要素レベルの方程式が得られる。

ここで $K^e_{ij} = \int_{\Omega_e} k \nabla N_i \cdot \nabla N_j \, d\Omega$ が要素熱伝導マトリクス、$f^e_i = \int_{\Omega_e} \dot{q}_v N_i \, d\Omega + \int_{\Gamma_e} q_s N_i \, d\Gamma$ が要素熱負荷ベクトルだ。

いい着眼点だ。構造の $[K]\{u\}=\{F\}$ と数学的に同じ構造だ。ただし熱解析は未知数がスカラーの温度なので、節点あたりの自由度は1つだけ。構造解析より問題サイズがずっと小さくなる。

有限差分法（FDM）も定常熱伝導でよく使われる。中心差分で離散化すると、1次元では

有限体積法（FVM）はセル中心に温度を配置し、セル界面での熱流束を保存する。CFDソルバー（Ansys Fluent, STAR-CCM+）はFVMベースなので、共役熱伝達解析では自動的にFVMで固体側も離散化される。

FEMは複雑形状に強く高次要素で高精度が得られる。FVMは保存則を厳密に満たすので流体と固体の連成に向く。FDMは実装が容易だが構造格子に限定される。使い分けが重要だ。

組み上がった全体方程式 $[K]\{T\}=\{f\}$ は、定常熱伝導の場合は線形なので一度の解法で済む。

非線形問題になるので反復計算が必要だ。Newton-Raphson法で $k(T)$ を逐次更新する。収束判定は残差ノルム $10^{-6}$ 程度が標準だが、温度変化量で $10^{-3}$ K を基準にすることもある。