混合層 — 数値解法と実装

混合層は壁面のない自由せん断流なので、LES や DNS との相性が非常に良い。

空間的混合層は流れ方向に発達するが、時間的混合層は均一なせん断を初期条件として時間発展させる。計算領域は流れ方向・スパン方向に周期境界で、空間的混合層をGalileo変換したものに対応する。

DNSではよく使われる手法だ。計算コストが低く、統計量の空間平均が取りやすい。ただし、空間的混合層の「上流からの擾乱の伝播」は模擬できない。

時間的混合層のDNS/LESでは、

1. 基本流: $\bar{u}(y) = \frac{\Delta U}{2} \tanh(2y / \delta_{\omega,0})$

2. 2D擾乱: 最も増幅される波長のモードを重ねる。基本モードとサブハーモニック（渦のペアリングを誘起）

3. 3D擾乱: スパン方向のモードを加える（oblique modes）。3D遷移に必要

4. ランダムノイズ: 広帯域の擾乱。自然な乱流遷移を再現

Michalke (1964) の線形安定性解析から、最も増幅されるモードの波数は $k_{max} \delta_{\omega,0} / 2 \approx 0.4457$ と求められる。

時間的混合層のメッシュ設計のポイントだ。

• 流れ方向 ($x$): 周期境界。長さは基本モードの波長の4倍以上（ペアリングを2回追跡するため）
• 法線方向 ($y$): 混合層の成長を追跡できるよう十分広く取る。中心部を細かく、遠方を粗く（ストレッチ）
• スパン方向 ($z$): 周期境界。3D構造の波長の2倍以上。$L_z \geq 2\lambda_z$
• 解像度: DNSなら $\Delta x \approx \Delta z \approx \delta_{\omega,0} / 10$。$\Delta y_{min} \approx \delta_{\omega,0} / 20$

混合層のLES/DNSでは低散逸のスキームが必須だ。

• DNS: 中心差分（2次または4次）。エネルギー保存スキームが理想的
• LES: Bounded Central Differencing（Fluent）、LUST（OpenFOAM）、中心差分+少量の風上
• RANS: Second Order Upwind で十分

1次風上は論外だし、2次風上でもK-H渦のロールアップを過度に減衰させる。DNS/LESでは散逸の少ないスキームを使い、SGSモデルまたは明示的なフィルタリングで安定性を確保する。