LESの基礎理論 -- 数値解法と実装

LESではフィルタ幅以上のスケールの渦構造を正確に解像する必要があるため、数値散逸の小さいスキームが求められる。2次精度の中心差分が最低ラインで、理想的には高次の中心差分やcompact差分を使いたい。

1次精度の上流差分は絶対に使ってはいけない。数値散逸がSGSモデルの散逸を大きく上回り、渦構造が人工的に消されてしまう。2次上流差分でも注意が必要で、blendingスキーム（例えば中心差分と上流差分の混合）を使う場合は中心差分の割合を十分高くすべきだ。OpenFOAMのlinearUpwindやFluent の Bounded Central Differencingは実務的な妥協点になるけれど、中心差分の割合が低すぎるとLESの意味がなくなるよ。

LESは本質的に非定常計算だから、時間積分の精度も重要だ。最低でも2次精度が必要で、代表的な選択肢は以下の通り。

CFL数（Courant-Friedrichs-Lewy数）で管理する。陽的スキームでは $CFL < 1$ が安定条件だけど、LESの精度確保のためには陰的スキームでも $CFL \sim 1$ 程度に抑えるのが望ましい。CFL数は $CFL = \frac{u \Delta t}{\Delta x}$ で定義される。

PISO（Pressure Implicit with Splitting of Operators）法が最も一般的だ。各時間ステップ内で1回の予測子ステップと2回以上の修正子ステップを行う。OpenFOAMではpimpleFoamソルバーがPIMPLE（PISO+SIMPLE）アルゴリズムを採用していて、LESに広く使われている。FluentではNon-Iterative Time Advancement (NITA) + fractional step法の組み合わせが推奨されるよ。

壁面解像LES（wall-resolved LES, WRLES）の場合、壁面近傍の格子解像度は非常に厳しい要件がある。

ここで壁面単位は $y^+ = y u_\tau / \nu$、$u_\tau = \sqrt{\tau_w/\rho}$ だ。

そうなんだ。壁面解像LESの格子点数は $N \sim Re^{13/7}$ のオーダーで増加するので、高Reynolds数の実機問題では非常に高コストになる。そこで壁面モデルLES（WMLES）やDES/IDDESといったハイブリッド手法が重要になってくるんだ。