Newmark-β法 — 数値解法と実装
ソルバー設定
各ソルバーでNewmark法はどう設定しますか？
Nastran
```
SOL 109 $ 直接法時刻歴解析
CEND
TSTEP = 100
BEGIN BULK
TSTEP, 100, 1000, 0.001 $ 1000ステップ, dt=0.001s
```
NastranのSOL 109はNewmark法がデフォルト。
Abaqus
```
*STEP
*DYNAMIC
0.001, 1.0 $ dt=0.001s, 全時間1.0s
*END STEP
```
Abaqusの*DYNAMICはNewmark法（$\beta=1/4, \gamma=1/2$ 相当のHHT-α法がデフォルト）。
Ansys
```
/SOLU
ANTYPE, TRANSIENT
TRNOPT, FULL ! 直接法
DELTIM, 0.001 ! dt=0.001s
TIME, 1.0 ! 全時間1.0s
SOLVE
```
HHT-α法（改良Newmark法）
HHT-α法って何ですか？
Hilber-Hughes-Taylor法はNewmark法に数値減衰パラメータ $\alpha$ を追加した改良版。$\alpha = 0$ でNewmark法に一致。$\alpha < 0$（例: $\alpha = -0.05$）で高周波の数値ノイズを減衰させる。
高周波ノイズを減衰？
Newmark法（$\beta=1/4, \gamma=1/2$）は数値散逸がゼロ。つまり一度入った高周波ノイズが永遠に消えない。HHT-α法は低周波の精度を保ちつつ、高周波だけ選択的に減衰させる。AbaqusとAnsysのデフォルトはHHT-α法。
時間刻みの決め方
$\Delta t$ の目安：
| 着目現象 | $\Delta t$ の目安 |
|---|---|
| 最高着目振動数 $f_{max}$ | $\Delta t < 1/(20 f_{max})$ |
| 地震応答（0〜30 Hz） | $\Delta t = 0.005 \sim 0.01$ s |
| 機械衝撃（0〜1000 Hz） | $\Delta t = 0.00005 \sim 0.0001$ s |
| 荷重の最短立ち上がり時間 $t_{rise}$ | $\Delta t < t_{rise} / 10$ |
まとめ
タコマナローズ橋の崩壊（1940年）
完成からわずか4ヶ月で崩壊した吊り橋。風速わずか65km/hで起きた空力弾性フラッター（共振）が原因でした。この事故は「振動解析を怠るとどうなるか」の最も有名な教訓として、今でも構造力学の教科書に載っています。現代のCAEは、この種の問題を設計段階で発見できます。もし当時にCAEがあれば、橋は今も架かっていたかもしれません。
離散化手法の詳細解説
空間離散化における手法選択が数値精度・安定性・計算コストに与える影響を詳述する。
線形要素（1次要素）
節点間を線形補間。計算コストは低いが、応力の精度が低い。せん断ロッキングに注意（低減積分やB-bar法で緩和）。
2次要素（中間節点付き）
曲線的な変形を表現可能。応力精度が大幅に向上するが、自由度は約2〜3倍に増加。推奨：応力評価が重要な場合。
完全積分 vs 低減積分
完全積分：過剰拘束（ロッキング）のリスク。低減積分：アワーグラスモード（零エネルギーモード）のリスク。適材適所で選択。
アダプティブメッシュ
誤差指標（ZZ推定量等）に基づく自動細分化。応力集中部の精度を効率的に向上。h法（要素分割）とp法（次数増加）がある。
マトリクスソルバーの選定指針
問題規模と特性に応じた最適なソルバー選択のガイドライン。
| ソルバー種別 | 詳細・推奨条件 |
|---|---|
| 直接法（LU/Cholesky分解） | メモリ: O(n·b²)（bはバンド幅）。10万DOF以下で効率的。常に解が得られる安定性が利点。 |
| 反復法（PCG法） | メモリ: O(n)。大規模問題（100万DOF以上）で有利。前処理の選択が収束速度を左右する。推奨前処理: 不完全Cholesky、AMG。 |
| DOF別推奨 | 〜10⁴ DOF: 直接法、10⁴〜10⁶ DOF: 前処理付き反復法、10⁶ DOF〜: AMG前処理＋並列反復法 |
時間積分法と収束判定
ソルバー内部の制御パラメータと収束判定基準について記述する。
ニュートン・ラフソン法
非線形解析の標準的手法。接線剛性マトリクスを毎反復更新。収束半径内で2次収束するが、計算コストが高い。
修正ニュートン・ラフソン法
接線剛性マトリクスを初期値または数反復毎に更新。各反復のコストは低いが、収束速度は線形的。
収束判定基準
力の残差ノルム: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（一般に $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。変位増分ノルム: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。エネルギーノルム: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
荷重増分法
全荷重を一度に負荷せず、小刻みに増加させる。弧長法（Riks法）は荷重-変位関係の極値点を越えて追跡可能。
数値解法の直感的理解
FEMのイメージ
有限要素法は「ジグソーパズルの逆」に似ている。完成した絵（連続体）をピース（要素）に分割し、各ピースの挙動を個別に計算してから全体を組み立て直す。ピースが小さいほど（メッシュが細かいほど）元の絵に近い結果が得られるが、ピース数が増えるため計算時間も増大する。
直接法 vs 反復法のたとえ
直接法は「連立方程式を筆算で正確に解く」方法——確実だが大規模問題では時間がかかりすぎる。反復法は「当て推量を繰り返して正解に近づく」方法——最初は大雑把な答えだが、反復するたびに精度が上がる。辞書で言葉を探すとき、最初のページから順番に探す（直接法）より、見当をつけて開き、前後に調整する（反復法）方が効率的なのと同じ原理。
メッシュの次数と精度の関係
1次要素は「定規で曲線を近似する」——直線の折れ線で表現するため精度に限界がある。2次要素は「フレキシブルカーブ」——曲線的な変化を表現でき、同じメッシュ密度でも格段に精度が向上する。ただし、1要素あたりの計算コストは増えるため、トータルのコスト対効果で判断する。
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