大変形（幾何学的非線形）解析 — 数値解法と実装

離散化手法の詳細解説

空間離散化における手法選択が数値精度・安定性・計算コストに与える影響を詳述する。

線形要素（1次要素）

節点間を線形補間。計算コストは低いが、応力の精度が低い。せん断ロッキングに注意（低減積分やB-bar法で緩和）。

2次要素（中間節点付き）

曲線的な変形を表現可能。応力精度が大幅に向上するが、自由度は約2〜3倍に増加。推奨：応力評価が重要な場合。

完全積分 vs 低減積分

完全積分：過剰拘束（ロッキング）のリスク。低減積分：アワーグラスモード（零エネルギーモード）のリスク。適材適所で選択。

アダプティブメッシュ

誤差指標（ZZ推定量等）に基づく自動細分化。応力集中部の精度を効率的に向上。h法（要素分割）とp法（次数増加）がある。

マトリクスソルバーの選定指針

問題規模と特性に応じた最適なソルバー選択のガイドライン。

ソルバー種別	詳細・推奨条件
直接法（LU/Cholesky分解）	メモリ: O(n·b²)（bはバンド幅）。10万DOF以下で効率的。常に解が得られる安定性が利点。
反復法（PCG法）	メモリ: O(n)。大規模問題（100万DOF以上）で有利。前処理の選択が収束速度を左右する。推奨前処理: 不完全Cholesky、AMG。
DOF別推奨	〜10⁴ DOF: 直接法、10⁴〜10⁶ DOF: 前処理付き反復法、10⁶ DOF〜: AMG前処理＋並列反復法

時間積分法と収束判定

ソルバー内部の制御パラメータと収束判定基準について記述する。

ニュートン・ラフソン法

非線形解析の標準的手法。接線剛性マトリクスを毎反復更新。収束半径内で2次収束するが、計算コストが高い。

修正ニュートン・ラフソン法

接線剛性マトリクスを初期値または数反復毎に更新。各反復のコストは低いが、収束速度は線形的。

収束判定基準

力の残差ノルム: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（一般に $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。変位増分ノルム: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。エネルギーノルム: $\Delta u \cdot R < \epsilon$

荷重増分法

全荷重を一度に負荷せず、小刻みに増加させる。弧長法（Riks法）は荷重-変位関係の極値点を越えて追跡可能。