衝撃波管問題（Riemannソルバー） — 数値フラックスと近似解法

Godunovの考え方は、各セル界面でのフラックスを局所的なRiemann問題の解から求めるというものだ。セル $i$ と $i+1$ の境界では、左状態 $\mathbf{U}_i$ と右状態 $\mathbf{U}_{i+1}$ から成るRiemann問題を解き、界面フラックス $\mathbf{F}_{i+1/2}$ を決定する。

厳密Riemannソルバーは毎回Newton法の反復が必要で計算コストが高い。そこで実用的な近似Riemannソルバーが多数開発されてきた。代表的なものを比較しよう。

HLLは波を2本しか考慮しないから、接触不連続面（3本目の波）の情報が失われるんだ。HLLCのCはContact waveのCで、3本目の波を追加することで接触不連続面を解像できるようになった。Toroの教科書に詳しい導出がある。

Roeの考え方は、非線形のEuler方程式を界面で線形化するというものだ。Roe平均状態を使ってヤコビアン行列 $\hat{A}$ を構成し、

Roe平均の密度と速度は以下で定義される。

膨張衝撃波（expansion shock）という非物理的な解を生成する場合がある。これはエントロピー条件に違反するもので、Harten-Hyman entropy fixで修正する必要がある。また、低マッハ数領域では過度な数値拡散が生じる問題もあり、Low-Mach Roe修正（Rieper fix等）が提案されているよ。

MUSCL（Monotonic Upstream-centered Scheme for Conservation Laws）法で2次精度化するのが標準だ。セル界面の左右状態を線形再構成で外挿する。

ここで $\phi(r)$ がTVDリミッター関数、$r$ は解の滑らかさの指標だ。リミッターを選ぶことで、滑らかな領域では2次精度、不連続近傍では1次精度に自動的に切り替わる。