ポテンシャル流れ理論 — 数値解法と実装

最も広く使われるのがパネル法（Panel Method）だ。物体表面をパネル（線分または面要素）に分割し、各パネル上に特異点分布（湧き出し、二重極、渦）を置く。境界積分方程式を離散化して特異点の強さを求める手法だよ。

ここで $G$ はGreen関数（2Dでは $G = -\frac{1}{2\pi}\ln|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|$）、$\sigma$ は湧き出し強さ、$\mu$ は二重極強さだ。

そこがパネル法の最大の利点だ。3次元問題が2次元表面の問題に帰着するため、計算量が大幅に削減される。格子生成も表面メッシュだけで済む。

Hess-Smithパネル法は揚力のない物体周りの流れに使われる。アルゴリズムは以下だ。

1. 物体表面を $N$ 個のパネルに分割

2. 各パネルに一定強さの湧き出し $\sigma_j$ を配置

3. 各パネルの制御点（中点）で法線方向速度 = 0 の条件を課す

4. $N \times N$ の連立方程式 $[A]\{\sigma\} = \{b\}$ を解く

5. 各パネル上の接線速度を計算し、Bernoulli式で圧力を求める

影響係数行列 $A_{ij}$ はパネル $j$ の湧き出しがパネル $i$ の制御点に及ぼす法線速度成分だ。

Hess-Smithに渦パネルを加える。各パネルに渦分布 $\gamma$ を追加し、Kutta条件（後縁上下パネルの速度が等しい）を連立方程式に追加する。これで循環と揚力が求まるんだ。

基本のHess-Smithは各パネル上の特異点分布が一定値（0次）だが、以下の改良がある。

遠方のパネルの影響を多極子展開でまとめて計算するFMM（Fast Multipole Method）を組み合わせると、$O(N)$ の計算量に削減できる。パネル数が数万〜数十万になる3次元全機解析では必須の技術だよ。

主要なコードを紹介しよう。

XFOILはMark Drela教授（MIT）が開発した2次元翼型解析コードで、パネル法と境界層の積分法を連成させている。迎角を変えて揚力係数 $C_l$、抗力係数 $C_d$、圧力分布を数秒で計算できる。UAVや小型風力タービンの翼型設計で今でも広く使われているよ。

領域全体でラプラス方程式を有限要素法（FEM）や有限差分法（FDM）で解くことも可能だ。COMSOLではLaplace's Equationインターフェースを使えば直接解ける。

FEMの弱形式は

$w$ は重み関数。物体表面で $\partial\phi/\partial n = 0$（不透過条件）、遠方で $\phi \to U_\infty x$ を課す。パネル法に比べて遠方の計算領域が必要になるのがデメリットだが、非線形拡張（遷音速ポテンシャル方程式）が容易というメリットがある。