キャビティ流れ（蓋駆動） — 数値解法と実装

キャビティ流れは閉じた領域で入口も出口もないという特殊性がある。圧力の絶対値が一意に決まらないため、参照圧力を1点で固定する必要がある。

キャビティ流れでのSIMPLE反復は以下の通りだ。

1. 圧力場 $p^*$ を仮定

2. 運動量方程式を $p^$ で解いて仮速度 $\mathbf{u}^$ を得る

3. 圧力補正方程式 $\nabla \cdot (\frac{1}{a_P} \nabla p') = \nabla \cdot \mathbf{u}^*$ を解く

4. 速度と圧力を補正: $p = p^ + \alpha_p p'$, $\mathbf{u} = \mathbf{u}^ - \frac{1}{a_P} \nabla p'$

5. 収束判定。未収束なら1に戻る

キャビティ流れでは入口出口がないため、圧力の基準を1点（例えば左下角のセル）で固定する。OpenFOAM では p の fvSolution で reference cell と reference value を指定する。

LBM は cavity flow の入門として非常に人気がある。D2Q9 モデル（2次元9速度）で、BGK衝突演算子を使えば簡単に実装できる。

緩和時間 $\tau$ と動粘度の関係は $\nu = c_s^2 (\tau - 0.5) \Delta t$ で、$c_s = 1/\sqrt{3}$（格子音速）だ。上壁面の移動は Zou-He 境界条件で実装する。

そうだ。LBM は陽的手法なので反復が不要で、並列化も容易だ。ただし、高Re数では数値安定性に注意が必要で、MRT（Multi-Relaxation Time）モデルや正則化手法が使われる。

比較対象は2つだ。

1. キャビティ中央の垂直線（$x = 0.5$）上の $u$ 速度: 上壁面で $u = 1$、底壁面で $u = 0$、中間で再循環による負の $u$ が現れる

2. キャビティ中央の水平線（$y = 0.5$）上の $v$ 速度: 左壁面近くで正、右壁面近くで負

Ghia et al. は $129 \times 129$ の均一格子で Re = 100, 400, 1000, 3200, 5000, 7500, 10000 のデータを tabulate している。これらの離散点の値と自分のCFD結果を比較して、相対誤差が $1\%$ 以内であれば良好だ。