固有振動数解析 — 数値解法と実装
固有値ソルバー
固有振動数の固有値問題はどうやって解きますか？
座屈解析と同じソルバーが使える。Lanczos法が実務標準。
| 手法 | 特徴 | 用途 |
|---|---|---|
| Lanczos法 | 大規模疎行列に最適。下位モードを効率的に抽出 | 実務標準 |
| サブスペース反復法 | Lanczosより安定だが遅い | 密集固有値 |
| AMLS（Automated Multi-Level Substructuring） | 超大規模問題に対応 | 数百万DOF |
AMLSって何ですか？
AMLSはNastranの大規模固有値解析手法。構造を自動的にサブストラクチャーに分割し、各サブストラクチャーの固有値を個別に求めてから全体を組み立てる。数百万DOFのモデルで数百モードを効率的に求められる。
ソルバー別の設定
Nastran
```
SOL 103
CEND
METHOD = 10
BEGIN BULK
EIGRL, 10, , , 20 $ 20モードを求める
```
Abaqus
```
*STEP
*FREQUENCY, EIGENSOLVER=LANCZOS
20, ,
*END STEP
```
Ansys
```
/SOLU
ANTYPE, MODAL
MODOPT, LANB, 20 ! Lanczos法で20モード
SOLVE
```
どのソルバーでもLanczos法がデフォルトですね。
現代のFEMソルバーでは、固有値解析 = Lanczos法と言って良い。設定は「求めるモード数」を指定するだけ。
質量マトリクスの選択
一貫質量と集中質量のどちらを使いますか？
固有振動数の精度は質量マトリクスに依存する：
- 一貫質量（consistent） — 精度が高い。デフォルト推奨
- 集中質量（lumped） — 計算が速いが精度がやや低い。高次モードで差が出る
NastranとAbaqusのデフォルトは一貫質量。
求めるモード数の決め方
何モード求めればいいですか？
用途による：
| 用途 | 必要モード数 |
|---|---|
| 1次固有振動数の確認 | 5〜10 |
| 応答解析（周波数範囲 $f_{max}$ まで） | $f_{max}$ 以下の全モード |
| 有効質量で90%カバー | 全方向で有効質量の合計が総質量の90%以上 |
| NVH解析（自動車） | 300 Hz以下の全モード（数百〜千モード） |
有効質量って何ですか？
各モードが外力（地震等）にどの程度応答するかの指標。有効質量が大きいモードが支配的な応答モード。詳しくは「モード有効質量」のページで解説する。
まとめ
固有振動数解析の数値手法、整理します。
タコマナローズ橋の崩壊（1940年）
完成からわずか4ヶ月で崩壊した吊り橋。風速わずか65km/hで起きた空力弾性フラッター（共振）が原因でした。この事故は「振動解析を怠るとどうなるか」の最も有名な教訓として、今でも構造力学の教科書に載っています。現代のCAEは、この種の問題を設計段階で発見できます。もし当時にCAEがあれば、橋は今も架かっていたかもしれません。
離散化手法の詳細解説
空間離散化における手法選択が数値精度・安定性・計算コストに与える影響を詳述する。
線形要素（1次要素）
節点間を線形補間。計算コストは低いが、応力の精度が低い。せん断ロッキングに注意（低減積分やB-bar法で緩和）。
2次要素（中間節点付き）
曲線的な変形を表現可能。応力精度が大幅に向上するが、自由度は約2〜3倍に増加。推奨：応力評価が重要な場合。
完全積分 vs 低減積分
完全積分：過剰拘束（ロッキング）のリスク。低減積分：アワーグラスモード（零エネルギーモード）のリスク。適材適所で選択。
アダプティブメッシュ
誤差指標（ZZ推定量等）に基づく自動細分化。応力集中部の精度を効率的に向上。h法（要素分割）とp法（次数増加）がある。
マトリクスソルバーの選定指針
問題規模と特性に応じた最適なソルバー選択のガイドライン。
| ソルバー種別 | 詳細・推奨条件 |
|---|---|
| 直接法（LU/Cholesky分解） | メモリ: O(n·b²)（bはバンド幅）。10万DOF以下で効率的。常に解が得られる安定性が利点。 |
| 反復法（PCG法） | メモリ: O(n)。大規模問題（100万DOF以上）で有利。前処理の選択が収束速度を左右する。推奨前処理: 不完全Cholesky、AMG。 |
| DOF別推奨 | 〜10⁴ DOF: 直接法、10⁴〜10⁶ DOF: 前処理付き反復法、10⁶ DOF〜: AMG前処理＋並列反復法 |
時間積分法と収束判定
ソルバー内部の制御パラメータと収束判定基準について記述する。
ニュートン・ラフソン法
非線形解析の標準的手法。接線剛性マトリクスを毎反復更新。収束半径内で2次収束するが、計算コストが高い。
修正ニュートン・ラフソン法
接線剛性マトリクスを初期値または数反復毎に更新。各反復のコストは低いが、収束速度は線形的。
収束判定基準
力の残差ノルム: $||R|| / ||F_{ext}|| < \epsilon$（一般に $\epsilon = 10^{-3}$〜$10^{-6}$）。変位増分ノルム: $||\Delta u|| / ||u|| < \epsilon$。エネルギーノルム: $\Delta u \cdot R < \epsilon$
荷重増分法
全荷重を一度に負荷せず、小刻みに増加させる。弧長法（Riks法）は荷重-変位関係の極値点を越えて追跡可能。
数値解法の直感的理解
FEMのイメージ
有限要素法は「ジグソーパズルの逆」に似ている。完成した絵（連続体）をピース（要素）に分割し、各ピースの挙動を個別に計算してから全体を組み立て直す。ピースが小さいほど（メッシュが細かいほど）元の絵に近い結果が得られるが、ピース数が増えるため計算時間も増大する。
直接法 vs 反復法のたとえ
直接法は「連立方程式を筆算で正確に解く」方法——確実だが大規模問題では時間がかかりすぎる。反復法は「当て推量を繰り返して正解に近づく」方法——最初は大雑把な答えだが、反復するたびに精度が上がる。辞書で言葉を探すとき、最初のページから順番に探す（直接法）より、見当をつけて開き、前後に調整する（反復法）方が効率的なのと同じ原理。
メッシュの次数と精度の関係
1次要素は「定規で曲線を近似する」——直線の折れ線で表現するため精度に限界がある。2次要素は「フレキシブルカーブ」——曲線的な変化を表現でき、同じメッシュ密度でも格段に精度が向上する。ただし、1要素あたりの計算コストは増えるため、トータルのコスト対効果で判断する。
構造解析の収束問題や計算コストに課題を感じていませんか？ — Project NovaSolverは、実務者が日々直面するこうした課題の解決を目指す研究開発プロジェクトです。
Project NovaSolver — CAE実務の課題に向き合う研究開発
「固有振動数解析をもっと効率的に解析できないか？」——私たちは実務者の声に耳を傾け、既存ワークフローの改善を目指す次世代CAEプロジェクトに取り組んでいます。具体的な機能はまだ公開前ですが、開発の進捗をお届けします。
進捗通知を受け取る →